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2008年3月14日 (金)

今更ながら三角関数

先日の水平線までの距離で少し数学づいてしまい、サバンナやモンゴルのような大平原では5km先の地平線の辺りが見えるか見えないかが命の分かれ目だから、そこのネイティブの人たちの視力が恐らく非常に良いのだろうな、竹内久美子流に言えばそのような遠目が利く遺伝子を持った人がより多く子孫を残しただろうから、現代のネイティブの視力が良いのかも知れないなどと考えていた。

ところで、視力とは改めてどのような数値なのだろうか、と調べていくうちに(これについてはまた別に詳しく書きたい)、視力は、視角というものに関係しているのだという。5m離れたところから、ランドルト環(例の視力検査表のCのマーク)の切れ目の二点が作る角度(度を60分の1にした分単位)1分の視角(これはCマークの切れ目の間隔とCマークの線の太さが1.5mmに該当する)が見える場合(切れ目がどちらか示せる場合)、その角度で1を割った数(つまり角度の逆数)1.0が視力1.0ということになるのだという。1.2の場合は、視角は0.8333, 1.5の場合は0.6666、0.2の場合は視角が5分ということになるのだそうだ。

模式図に距離とランドルト環の切れ目の長さを2辺とする直角三角形が出てきて、視角θのtangentの計算が出てきて、三角関数につながった。そうこうして、いろいろ調べているうちに三角関数について長年疑問だったことの答えが偶然見つかった。

yahoo知恵袋のQ&Aにちょうどあったのだった。

三角関数のサイン、コサイン、タンジェントの和訳はなぜ、正弦、余弦、正接と言うのですか。
比率なのに、どうして円の一部を示す弦との言葉なのでしょうか。中国からの輸入言葉ですか?

学校では数学史を教えてくれないのです。
宜しくお願いします。

回答日時: 2005/7/10 16:37:02     回答番号: 18,702,151

円に直線を引いてできる長さになるからです。
江戸時代の言葉です。伊能忠敬は測量に使いました。

正弦は半径1の円の弦の半分の長さとして現れます。
正接は半径1の円の接線上の長さとして現れます。

http://www.uja.jp/modules/weblog/details.php?blog_id=470

「正弦は半径1の円の弦の半分の長さとして現れます。」
弦が関係していると思ったが、やはりその通りだった。半径1の円がポイントだったわけだ。

同じく「正接は半径1の円の接線上の長さとして現れます。」これも接線が関係している
とは思ったが、その通りだった!

余弦は、WIKIPEDIAの「余弦は"余りの角(その角と直角以外の角)の正弦"であるためこう呼ばれる」ということで、なんとなく分かるが、

より分かりやすい説明は、
http://wiigame.hp.infoseek.co.jp/other/sin.html にあった。

cos・cot・cosecですが、下の図のこの部分を「余角」というそうです。

で、この図の赤い線の長さが、余角のsin(→弦)になってるんです。余角の弦だから、余弦。cot・cosecもそういうことです。これ知ったときはちょっと感動した。

本当に私も感動した。まったく長い道のりだった。大学時代に数学科の友人に聞いても、「それは、そういうものだ。覚えるしかない」という感じで、なるほど数学ができるやつは違うわいということで、解決には至らなかった。サインとコサインの区別は数Ⅰの試験勉強の直前勉強では何とかなったが、その後はすぐに区別があいまいになってしまった。そこで、円の弦、接線に関係付ければ記憶の助けになると思ったのだが、いろいろな一般向けの解説本をひも解いてもこのような伊能忠敬らも使ったという歴史的なそれなりに意味の通った用語としての正弦、余弦、正接の説明はなく、ようやくネットが解決してくれたという次第である。(講談社現代新書『算数・数学が得意になる本』は分かりやすい本だが、このような説明はなかった。)

まったくお恥ずかしい話だが、これでようやく子どもにも三角関数の説明ができそうだhappy01

p.s.いろいろ調べていくと、視角から分解能まで話が発展し、見分けられるギャップ = ( 2 * 円周率 * 距離 ) / ( 360 * 60 * 視力 ) という式まで出てきた。この式に数値を代入すると、視力の計算式同じ結果が出るので、正しい式なのだろうが、どのようにしてこの式ができたのかが現在謎であるsign02

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